Steffen Koenig: Vorlesung Lie-Algebren (WS 2012/13)
Inhalt der Vorlesung:
Kapitel 1: Lie-Algebren und Darstellungen
Dienstag 16.10.: Definition Lie-Algebren, Beispiele, Derivationen,
Homomorphismen, Darstellungen und Moduln.
Donnerstag 18.10.: Teil- und Quotientendarstellungen, einfach und irreduzibel,
Beispiel eindimensionale Lie-Algebra, Beispiel sl(2,C): endlich.dimensionale
Darstellungen.
Dienstag 23.10.: Fortsetzung Beispiel sl(2,C): Klassifikation der
endlich-dimensionalen Darstellungen, Vorschau auf weitere Vorlesung, Beispiel
sl(3,C): Eigenwerte.
Donnerstag 25.10.: Fortsetzung Beispiel sl(3,C): Bilder von Darstellungen,
Wurzeln, Gewichte, höchste Gewichte.
Kapitel 2: Halbeinfache komplexe Lie-Algebren
Donnerstag 25.10.: Abgeleitete Reihe und absteigende Zentralreihe,
abelsch, einfach, auflösbar und nilpotent, Beispiele.
Dienstag 30.10.: Übungen.
Dienstag 6.11.: Ohne Beweis: Satz von Engel und Satz von Lie. Radikal einer
Lie-Algebra, halbeinfach. Jordan-Chevalley-Zerlegung. Ohne Beweis: Cartans
Kriterium. Killing-Form.
Donnerstag 8.11.: Assoziative Bilinearform. Beispiel. Charakterisierung von
halbeinfach durch die Killing-Form. Halbeinfache Lie-Algebren sind direkte
Summen von einfachen. L und Der(L). Dualraum und Tensorprodukt.
Dienstag 13.11.: Tensorprodukt von Moduln. Homomorphismen als Moduln.
Casimir-Element, Beispiel.
Donnerstag 15.11.: Satz von Weyl. Konsequenzen für die
Jordan-Zerlegung.
Dienstag 20.11.: Übungen.
Kapitel 3: Universelle einhüllende Algebren.
Donnerstag 22.11.: Freie Gruppen und Algebren. Tensoralgebra und symmetrische
Algebra. Graduierte Algebren. Universelle einhüllende Algebren.
Dienstag 27.11.: Beispiele. Moduln. Erste Version des PBW-Theorems.
Filtrierungen und assoziierte graduierte Algebra. Homomorphismus von S nach G.
Donnerstag 29.11.: Zweite Version des PBW-Theorems. S als L-Modul.
Dienstag 4.12.: Ende des Beweises. Freie, projektive und flache Moduln.
Anwendung des PBW-Theorems.
Donnerstag 6.12.: Adjunktion. Universeller Höchstgewichtsmodul zu einem
Gewicht. Freie Lie-Algebren.
Kapitel 4: Wurzeln und Dynkin-Diagramme.
Donnerstag 6.12.: Cartan-Teilalgebren. Wurzelraumzerlegung.
Dienstag 11.12.: Morozovs Lemma und sl(2)-Tripel. Eigenschaften von
Wurzelräumen.
Donnerstag 13.12.: Wurzeln. Rationale Koeffizienten. Skalarprodukt.
Definition Wurzelsystem. Wurzeln bilden ein Wurzelsystem.
Dienstag 18.12.: Übungen.
Übungsblätter:
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Termine für mündliche Prüfungen können ab sofort im
Sekretariat bei Frau Gangl vereinbart werden.
Literatur:
James Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory.
Karin Erdmann and Mark Wildon, Introduction to Lie algebras.
William Fulton and Joe Harris, Representation theory - a first course.
Jacques Dixmier, Enveloping algebras.
Jens Carsten Jantzen, Einhüllende Algebren halbeinfacher Lie-Algebren.
James Humphreys, Representations of semisimple Lie algebras in the
BGG category O.